Lotka-Volterra

Modelo Presa- Depredador de Lotka-Volterra

Predator-Prey Model of Lotka Volterra

Por Eber Risco Sence

El estudio matemático de la dinámica de poblaciones data de Volterra, Lotka y Gause. Es razonable tratar el problema del modelo presa-depredador sobre las hipótesis de que el sistema, aunque muestre fluctuaciones, se mantiene en equilibrio durante cierto tiempo. Si no fuera así, el sistema ya hubiera degenerado en tiempos pasados, reduciéndose a una sola especie o a ninguna.

El modelo con ecuación diferencial más sencillo recibe el nombre de sus creadores: Lotka-Volterra. Es muy elemental, pero es un punto de partida muy útil. El modelo matemático planteado por Lotka-Volterra esta representado mediante las siguientes ecuaciones diferenciales (Pastor, 2008).

 Donde:

 : es la razón de cambio de la población de la presa con respecto al tiempo.

: es la razón de cambio de la población del depredador con respecto al tiempo.

r:  tasa per cápita de la presa.

h: probabilidad de encuentro entre el depredador y la presa y este pueda matarlo.

β: conversión eficiente de biomasa de la presa hacia la biomasa del depredador

m: probabilidad aleatoria de muerte del depredador.

Para obtener los puntos de equilibrio igualamos las dos ecuaciones  a cero. Así se tiene el nullcline para la presa (N₁).

Figura 1: Nullcline para la presa (FUENTE: Pastor, 2008)

El nullcline para el depredador (N₂) estaría representado de la siguiente manera:

Figura 2: Nullcline para el depredador (FUENTE: Pastor, 2008)

Además se tiene los puntos de equilibrios N₁=0 y N₂=0, por lo que se tiene:

Figura 3: Nullclines, equilibrios y su estabilidad, y el campo vectorial de la ecuación (FUENTE: Pastor, 2008)

Ejemplo: para r=1.1; h=0.05; β=0.2; m=0.4; población inicial de presas =60; población inicial de  predadores=40, con 10 simulaciones (población final de presas=80 y de presas=55).

  Figura 4: Modelo Lotka-Volterra para 10 simulaciones.

Figura 5: Poblaciones de las presas y depredadores con relación al tiempo.

Aplicación en MATLAB

Figura 6: Aplicación en MATLAB para dinámica poblacional.

Referencias:

1. Andrewartha, H. G.; Birch, L. C. 1954. The Distribution and Abundance of Animals. Chicago, US. University of Chicago Press.

2.Begon, M.; Harper, J. L.; Townsend, C. R. 1986. Ecology: Individuals, Populations and Communities. Oxford, UK. Blackwell.

3.  Bocarra, Nino. 2010. Modeling Complex Systems. 2 ed. New York, US. Springer. 497 p.

4. Gillma, Michael. 2009. An Introduction to Mathematical Models in Ecology and Evolution Time and Space.2 ed. Oxford, UK.167 p.

5.Lopez, José; Blé, Gamaliel. Modelo Depredador-Presa. Revista de Ciencias Básicas. UJAT (7), 25-35 (2008).

6. Murray, J.D. 2002. Mathematical Biology: An Introduction. 3 ed. New York, US. Springer. 576 p.

7. Pastor, Hohn. 2008. Mathematical Ecology of Populations and Ecosystems. Oxford, UK. Blackwell. 344 p.

8. Ranta, Esa; Lundberg, Per; kaitala, Veijo. 2006. Ecology of Populations. New York, US. Cambridge University Press. 389 p.

9. Universidad de Jaén. 2009. Modelos Matemáticos en Biología. Andalucia, ES. 360 p.

Video de Aplicación MATLAB:

Test de Mantel

Test de Mantel con R
Mantel Test with R

El test de Mantel estima el grado de correlación existente entre dos matrices, X e Y. La hipótesis nula de esta técnica postula que las distancias/ similitudes entre las variables de la matriz respuesta Y no están linealmente correlacionadas con las correspondientes distancias/similitudes en la matriz modelo X. Se trata, por tanto, de evaluar si la asociación (positiva o negativa) es más robusta de lo que cabría esperar por puro azar.

El estadístico del test de Mantel (Z_M) se calcula mediante la suma de los productos cruzados de los valores de las dos matrices de similitud/distancia, excluyendo la diagonal principal que sólo contiene valores triviales (0 en el caso de las matrices de distancias y 1 en el caso de las matrices de similitudes):

Z_M=X_ij.Y_ij

Donde X_ij Y_ij son los elementos de las matrices X e Y, respectivamente. Para contrastar la hipótesis nula con este estadístico se utiliza un test de permutaciones, en el que los elementos de una matriz se reordenan al azar. Se permutan los elementos de una de las matrices al azar y se calcula cada vez el valor de Z. Así, de la distribución de valores Z obtenidos al azar podemos evaluar cuál es la probabilidad de obtener el valor Z observado.

El estadístico Z se expresa en unidades arbitrarias y sus implicaciones son difíciles de entender, por lo que suele utilizarse el coeficiente estandarizado de Mantel. Para ello se calcula el producto cruzado de las dos matrices y se divide por [(n(n-1)/2)-1], donde n son los objetos comparados (generalmente las unidades de muestreo). El valor así obtenido tiene un rango comprendido entre -1 y +1. Este estadístico se denomina r_M y se puede interpretar con alguna salvedad como un coeficiente de correlación. Su significación se evalúa también mediante permutaciones. El test de permutaciones da la misma probabilidad para el estadístico Z_M y para r_M, ya que las transformaciones lineares como la utilizada para estandarizar Z afectan en la misma medida a los resultados del producto cruzado.

Código en R

a=read.table("D:/R/datos.csv",header=T, sep=",")

plot(a$ESTE,a$NORTE,main="Distribución espacial de muestras",

 ylab="Norte",xlab="Este",pch = 13,cex.lab=1,cex.axis=0.7,

cex.main=1.1)

a.dists = dist(cbind(a$ESTE, a$NORTE))

NDVI.dists=dist(a$NDVI)

tmantel=mantel(a.dists ~ NDVI.dists, nperm=10000)

tmantel

mmantel=mantel.rtest(a.dists, NDVI.dists, nrepet = 9999)

mmantel

par(mfrow = c(2, 1))

plot(r1 <- mantel.rtest(a.dists,NDVI.dists), main = "Mantel's test",

cex.lab=0.8,cex.axis=0.6,cex.main=0.8)

z.mgram = mgram(NDVI.dists, a.dists, nperm=0)

plot(z.mgram,main="Mantel Correlogram",cex.lab=0.8,cex.axis=0.6,

cex.main=0.8)

Distribución espacial de los puntos de muestreo

Resultados en R

 

Gráfico del test de Mantel y Correlograma de Mantel

Referencia

• Maestre, Fernando; Escudero, Adrián; Bonet, Andreu. 2008. Introducción al Análisis Espacial de Datos en Ecología y Ciencias Ambientales: Métodos y Aplicaciones. Madrid, ES, DYKINSON, S.L.850 p.
• Fortin, Marie-Josée; Dale, Mark. 2005. Spatial Analysis: A guide for Ecologist. New York, US, CAMBRIDGE. 381 p.