Modelo Hidrológico Thornthwaithe-Mather

Modelo de Balance Hídrico Mensual Thornthwaithe-Mather en la Cuenca hidrográfica de Huancané

Thornthwaithe-Mather Monthly Water Balance Model in the Huancane Drainage Basin

Por Eber Risco Sence

Para una evaluación de los recursos hídricos a una escala regional, los modelos de balance hídrico mensual son muy utilizados para la identificación de las consecuencias hidrológicas por cambios en la temperatura, precipitación y otras variables climáticas.

1.       Área de estudio y datos

La cuenca hidrográfica de Huancané, políticamente se encuentra ubicada en la región Puno, dentro de las provincias de Azángaro, San Antonio de Putina, Huancané y Moho. La cuenca hidrográfica del río Huancané analizada en la presente investigación tiene una extensión aproximada de 3633.92 km2, desde la partición de aguas hasta la estación Puente Huancané. Geográficamente la cuenca del río Huancané está comprendida entre las coordenadas (UTM-Zona 19S) Este: 376198-468591 y Norte: 8302030-8397464.

  Figura 1: Ubicación de las estaciones meteorológicas de la cuenca del río Huancané.

Las estaciones pluviométricas utilizadas fueron: Estaciones pluviométricas para la cuenca del río Huancané: Taraco, Arapa, Huancané, Huaraya, Progreso, Muñani, Putina, Azángaro, Ananea, Crucero, Cojata y la estación hidrométrica de Puente Huancané.

2.       Metodología

2.1   Modelo Thornthwaithe-Mather

El modelo fue desarrollado por Thornthwaithe y Mather (1955), es un modelo de doble reservorio (ver figura 2). El modelo tiene dos parámetros a ser calibrados: capacidad de humedad del suelo y el almacenamiento constante.

 

  Figura 2: Esquema del modelo hidrológico conceptual Thornthwaithe-Mather.

3.       Resultados

Se ha seleccionado el periodo de enero 1964 a diciembre 1993 para la calibración y de enero 1994 a diciembre 2002 para la validación.  Con el fin de utilizar los criterios de optimización se eligió la función objetiva de Nash y Sutcliffe (1970).

Donde:

Q_si= caudal simulado (m3/s).

Q_ob= caudal observado (m3/s).

N= representa el número de pasos de tiempo simulados.

Para evaluar la bondad de los resultados del modelo durante los periodos de calibración y validación, los intervalos se presentan el Cuadro 1. La eficiencia de Nash se encuentra enmarcada como C3.

 

 Cuadro 1: Criterios para evaluar el desempeño de los modelos en categorías desde excelente a muy mala. FUENTE: Andersen et al, citados por Miroslaw y Okruszko 2011.

3.1   Optimización del modelo Thornthwaithe-Mather

El proceso de optimización del modelo fue realizada mediante técnicas de optimización global, para lo cual se utilizó un algoritmo genético. Los algoritmos genéticos son métodos adaptativos, muy utilizados en problemas de búsqueda y optimización de parámetros, basados en la mecánica de selección natural y de la genética natural. Combinan la supervivencia del más apto entre estructuras de secuencias con un intercambio de información estructurado, aunque aleatorio, para constituir así un algoritmo de búsqueda que tenga algo de genialidades de las búsquedas humanas (Goldberg, 1989).

  

Figura 3: Diagrama de flujo de los algoritmos genéticos. FUENTE: Haupt y Haupt (2004).

Los valores obtenidos para los parámetros del modelo fueron: ϕ= 25.2109, λ =    0.5643. En la figura 4 se muestra el proceso de optimización con algoritmo genético de manera gráfica y en la figura 5 se muestra el comportamiento de los parámetros en el proceso de optimización y las variaciones de los parámetros de acuerdo al valor de Nash-Sutcliffe obtenido.

 Figura 4: Gráficos del proceso de optimización mediante algoritmo genético en el modelo de balance hídrico Thornthwaithe-Mather.

Figura 5: Variación de la eficiencia de la función Nash-Sutcliffe de acuerdo a la variación de los parámetros ϕ, λ .Superficies generadas tomando de dos en dos los parámetros.

3.2   Calibración del modelo Thornthwaithe-Mather

En el periodo de calibración (1964-1993) el modelo Thornthwaithe-Mather presentó una eficiencia de Nash-Sutcliffe de  73.15 % considerado como una calidad muy buena de acuerdo a la tabla 1. En la figura 6 se muestra los caudales simulados comparados con los observados.

Figura 6: Caudales observados y simulados por el modelo Thornthwaithe-Mather en la cuenca del río Huancané (Periodo de calibración)

3.3   Validación del modelo Thornthwaithe-Mather

En el periodo de validación (1994-2002) el modelo Thornthwaithe-Mather presentó una eficiencia de Nash-Sutcliffe de 81.95 % considerado como una calidad muy buena de acuerdo a la tabla 1. En la figura 7 se muestra los caudales simulados comparados con los observados.

Figura 7: Caudales observados y simulados por el modelo Thornthwaithe-Mather en la cuenca del río Huancané (Periodo de validación)

4.       Conclusión

• De acuerdo a los resultados obtenidos, el modelo Thornthwaithe-Mather se presenta como adecuado para la simulación hidrológica en la cuenca del río Huancané, presentando una eficiencia de 73.15 % y 81.95 % para los periodos de calibración y validación respectivamente.

5.       Referencias bibliográficas

1. Fernandez, R; Vogel, S. 2000. Regional calibration of watershed model. Hydrological Sciences-journal-des-Sciences Hydrologiques, 45(5): 689-707.
2. Goldberg, D. 1989. Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning: Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc., Boston, MA, US.
3. Haupt, R; Haupt, S. 2004. Practical Genetic Algorithms. New York, Jhon Wiley & SONS. 261 p.
4.  Jiang, T; Xu, C. 2007. Comparison of hydrological impacts of climate change simulated by six hydrological models in the Dongjiang Basin, South China. Journal of Hydrology 336: 316-333.
5. Miroslaw, D; Okruszko, T. 2011. Modelling of Hydrological Processes in the Narew Catchment. New York, US.Springer. 153 p.
6. Pizarro, R; Soto, M. 2005. Aplicación de dos Modelos de Simulación Integral Hidrológica, para la estimación de caudales medios mensuales, en dos cuencas de Chile central. BOSQUE 26(2):123-129.
7. Thornthwaite, C.W., Mather, J.R., 1955. The Water Balance. Publications in Climatology, vol. 8. Laboratory of Climatology, Drexel Institute of Technology, Centerton, New Jersey. 1–104.

Video de Aplicación en MATLAB

Modelo Hidrológico ABCD

Modelo de Balance Hídrico Mensual ABCD en la Cuenca hidrográfica de Lurín

ABCD Monthly Water Balance Model in the Lurin Drainage Basin

Por Eber Risco Sence

Los profesionales de las ciencias ambientales deben afrontar la escasez de datos hidrológicos para desarrollar su trabajo dentro de los distintos ámbitos que les toque desempeñar. Para ello se ven forzados al empleo de metodologías de simulación hidrológica, la cual se puede definir como la descripción matemática de la respuesta de un sistema hidrológico a una serie de eventos programados durante un periodo de tiempo. El uso más frecuente de la simulación hidrológica es la síntesis de hidrogramas a partir de los datos de precipitación y las características de la cuenca de drenaje, ya sea en una escala temporal pequeña (estudio de eventos) o grande (estudio de recursos).

1.       Área de estudio y datos

La cuenca hidrográfica de Lurín, políticamente se encuentra ubicada en la región Lima, dentro de las provincias de Lima y Huarochirí. La cuenca hidrográfica del río Lurín analizada en la presente investigación tiene una extensión aproximada de 1451.24 km2, desde la partición de aguas hasta la estación Puente Manchay. Geográficamente la cuenca del río Lurín está comprendida entre las coordenadas (UTM-Zona 18S) Este: 297644-367577 y Norte: 8650619-8690883.

   Figura 1: Ubicación de las estaciones meteorológicas en la cuenca del río Lurín.

Las estaciones pluviométricas utilizadas fueron: Manchay, Antioquia, Matucana, Langa, Tuna, Huarochiri, Escomarca, Parac, Chalilla; y las estaciones hidrométricas de Antapucro y Puente Manchay.

2.       Metodología

2.1   Modelo ABCD

El  modelo ABCD es un modelo de cuenca no lineal que acepta la precipitación y evapotranspiración potencial como entradas, produciendo caudales como salida del modelo. Internamente, el modelo también representa el almacenamiento de humedad en el suelo, almacenamiento de agua subterránea, la escorrentía directa, aporte de las aguas subterráneas hacia el cauce, la evapotranspiración actual. Fue originalmente introducido por Thomas (1981) y Thomas et al. (1983).

 

   Figura 2: Esquema del modelo hidrológico conceptual ABCD con los parámetros a, b, c y d a optimizar.

3.       Resultados

Se ha seleccionado el periodo de enero 1964 a diciembre 1988 para la calibración y de enero 1989 a diciembre 2002 para la validación.  Con el fin de utilizar los criterios de optimización se eligió la función objetiva de Nash y Sutcliffe (1970).

Donde:

Q_si= caudal simulado (m3/s).

Q_ob= caudal observado (m3/s).

N= representa el número de pasos de tiempo simulados.

Para evaluar la bondad de los resultados del modelo durante los periodos de calibración y validación, los intervalos se presentan el Cuadro 1. La eficiencia de Nash se encuentra enmarcada como C3.

 

 

 Cuadro 1: Criterios para evaluar el desempeño de los modelos en categorías desde excelente a muy mala. FUENTE: Andersen et al, citados por Miroslaw y Okruszko 2011

3.1   Optimización del modelo ABCD

La optimización del modelo fue realizada mediante técnicas de optimización global, donde un mínimo global es un punto donde el valor de la función es menor que o igual al valor en todos los otros puntos factibles.

Los valores obtenidos para los parámetros del modelo fueron: a=0.2612, b= 69.9574, c= 0.8649 y d=0.9992. En la figura 3 se muestra el comportamiento de los parámetros en el proceso de optimización, en la figura 4 se muestra las variaciones de los parámetros tomados de dos en dos de acuerdo al valor de Nash-Sutcliffe obtenido.

Figura 3 : Comportamiento de los parámetros a, b, c y d en el proceso de optimización global, donde la variación va desde el azul al rojo, siendo el rojo los valores más adecuados para el modelo de acuerdo a la función objetivo seleccionada.

Figura 4: Variación de la eficiencia de la función Nash-Sutcliffe de acuerdo a la variación de los parámetros a, b, c y d, superficies generadas tomando de dos en dos los parámetros.

3.2   Calibración del modelo ABCD

En el periodo de calibración (1964-1988) el modelo ABCD presentó una eficiencia de Nash-Sutcliffe de  91.013 % considerado como una calidad excelente de acuerdo a la tabla 1. En la figura 5 se muestra los caudales simulados comparados con los observados.

Figura 5: Caudales observados y simulados por el modelo ABCD en la cuenca del río Lurín

(Periodo de calibración)

3.3   Validación del modelo ABCD

En el periodo de validación (1989-2002) el modelo ABCD presentó una eficiencia de Nash-Sutcliffe de  94.44 % considerado como una calidad excelente de acuerdo a la tabla 1. En la figura 6 se muestra los caudales simulados comparados con los observados.

Figura 6: Caudales observados y simulados por el modelo ABCD en la cuenca del río Lurín

(Periodo de validación)

4.       Conclusión

• De acuerdo a los resultados obtenidos, el modelo ABCD se presenta como adecuado para la simulación hidrológica en la cuenca del río Lurín, presenta una eficiencia de 91.013 % y 94.44 % para los periodos de calibración y validación respectivamente.

5.       Referencias bibliográficas

1.  Fernandez, R; Vogel, S. 2000. Regional calibration of watershed model. Hydrological Sciences-journal-des-Sciences Hydrologiques, 45(5): 689-707.
2.  Miroslaw, D; Okruszko, T. 2011. Modelling of Hydrological Processes in the Narew Catchment. New York, US.Springer. 153 p.
3. Thomas, H. A. 1981. Improved methods for national water assessment. Report, Contract WR 15249270, US Water Resources Council, Washington, DC, USA.
4. Thomas, H. A., Marin, C. M., Brown1 M. J. & Fierin$, M. B. 1983. Methodolo~ for water r.es.ourcea ssessmentR. Eport NTIS 84-124163, to US GeologIcal Survey, National. Tech. Info. Serv., Spnngfield, VlrgIma, USA.

Aplicación desarrollada en MATLAB

Lotka-Volterra

Modelo Presa- Depredador de Lotka-Volterra

Predator-Prey Model of Lotka Volterra

Por Eber Risco Sence

El estudio matemático de la dinámica de poblaciones data de Volterra, Lotka y Gause. Es razonable tratar el problema del modelo presa-depredador sobre las hipótesis de que el sistema, aunque muestre fluctuaciones, se mantiene en equilibrio durante cierto tiempo. Si no fuera así, el sistema ya hubiera degenerado en tiempos pasados, reduciéndose a una sola especie o a ninguna.

El modelo con ecuación diferencial más sencillo recibe el nombre de sus creadores: Lotka-Volterra. Es muy elemental, pero es un punto de partida muy útil. El modelo matemático planteado por Lotka-Volterra esta representado mediante las siguientes ecuaciones diferenciales (Pastor, 2008).

 Donde:

 : es la razón de cambio de la población de la presa con respecto al tiempo.

: es la razón de cambio de la población del depredador con respecto al tiempo.

r:  tasa per cápita de la presa.

h: probabilidad de encuentro entre el depredador y la presa y este pueda matarlo.

β: conversión eficiente de biomasa de la presa hacia la biomasa del depredador

m: probabilidad aleatoria de muerte del depredador.

Para obtener los puntos de equilibrio igualamos las dos ecuaciones  a cero. Así se tiene el nullcline para la presa (N₁).

Figura 1: Nullcline para la presa (FUENTE: Pastor, 2008)

El nullcline para el depredador (N₂) estaría representado de la siguiente manera:

Figura 2: Nullcline para el depredador (FUENTE: Pastor, 2008)

Además se tiene los puntos de equilibrios N₁=0 y N₂=0, por lo que se tiene:

Figura 3: Nullclines, equilibrios y su estabilidad, y el campo vectorial de la ecuación (FUENTE: Pastor, 2008)

Ejemplo: para r=1.1; h=0.05; β=0.2; m=0.4; población inicial de presas =60; población inicial de  predadores=40, con 10 simulaciones (población final de presas=80 y de presas=55).

  Figura 4: Modelo Lotka-Volterra para 10 simulaciones.

Figura 5: Poblaciones de las presas y depredadores con relación al tiempo.

Aplicación en MATLAB

Figura 6: Aplicación en MATLAB para dinámica poblacional.

Referencias:

1. Andrewartha, H. G.; Birch, L. C. 1954. The Distribution and Abundance of Animals. Chicago, US. University of Chicago Press.

2.Begon, M.; Harper, J. L.; Townsend, C. R. 1986. Ecology: Individuals, Populations and Communities. Oxford, UK. Blackwell.

3.  Bocarra, Nino. 2010. Modeling Complex Systems. 2 ed. New York, US. Springer. 497 p.

4. Gillma, Michael. 2009. An Introduction to Mathematical Models in Ecology and Evolution Time and Space.2 ed. Oxford, UK.167 p.

5.Lopez, José; Blé, Gamaliel. Modelo Depredador-Presa. Revista de Ciencias Básicas. UJAT (7), 25-35 (2008).

6. Murray, J.D. 2002. Mathematical Biology: An Introduction. 3 ed. New York, US. Springer. 576 p.

7. Pastor, Hohn. 2008. Mathematical Ecology of Populations and Ecosystems. Oxford, UK. Blackwell. 344 p.

8. Ranta, Esa; Lundberg, Per; kaitala, Veijo. 2006. Ecology of Populations. New York, US. Cambridge University Press. 389 p.

9. Universidad de Jaén. 2009. Modelos Matemáticos en Biología. Andalucia, ES. 360 p.

Video de Aplicación MATLAB: