Modelo Presa- Depredador de Lotka-Volterra
Predator-Prey Model of Lotka Volterra
Por Eber Risco Sence
El estudio matemático de la dinámica de poblaciones data de Volterra, Lotka y Gause. Es razonable tratar el problema del modelo presa-depredador sobre las hipótesis de que el sistema, aunque muestre fluctuaciones, se mantiene en equilibrio durante cierto tiempo. Si no fuera así, el sistema ya hubiera degenerado en tiempos pasados, reduciéndose a una sola especie o a ninguna.
El modelo con ecuación diferencial más sencillo recibe el nombre de sus creadores: Lotka-Volterra. Es muy elemental, pero es un punto de partida muy útil. El modelo matemático planteado por Lotka-Volterra esta representado mediante las siguientes ecuaciones diferenciales (Pastor, 2008).
El modelo con ecuación diferencial más sencillo recibe el nombre de sus creadores: Lotka-Volterra. Es muy elemental, pero es un punto de partida muy útil. El modelo matemático planteado por Lotka-Volterra esta representado mediante las siguientes ecuaciones diferenciales (Pastor, 2008).
r: tasa per cápita de la presa.
h: probabilidad de encuentro entre el depredador y la presa y este pueda matarlo.
β: conversión eficiente de biomasa de la presa hacia la biomasa del depredador
m: probabilidad aleatoria de muerte del depredador.
Para obtener los puntos de equilibrio igualamos las dos ecuaciones a cero. Así se tiene el nullcline para la presa (N1).
Para obtener los puntos de equilibrio igualamos las dos ecuaciones a cero. Así se tiene el nullcline para la presa (N1).
Figura 1: Nullcline para la presa (FUENTE: Pastor, 2008)
El nullcline para el depredador (N2) estaría representado de la siguiente manera:
Figura 2: Nullcline para el depredador (FUENTE: Pastor, 2008)
Además se tiene los puntos de equilibrios N1=0 y N2=0, por lo que se tiene:
Figura 3: Nullclines, equilibrios y su estabilidad, y el campo vectorial de la ecuación (FUENTE: Pastor, 2008)
Ejemplo: para r=1.1; h=0.05; β=0.2; m=0.4; población inicial de presas =60; población inicial de predadores=40, con 10 simulaciones (población final de presas=80 y de presas=55).
Figura 4: Modelo Lotka-Volterra para 10 simulaciones.
Figura 5: Poblaciones de las presas y depredadores con relación al tiempo.
Aplicación en MATLAB
Figura 6: Aplicación en MATLAB para dinámica poblacional.
Referencias:
1. Andrewartha, H. G.; Birch, L. C. 1954. The Distribution and Abundance of Animals. Chicago, US. University of Chicago Press.
2.Begon, M.; Harper, J. L.; Townsend, C. R. 1986. Ecology: Individuals, Populations and Communities. Oxford, UK. Blackwell.
3. Bocarra, Nino. 2010. Modeling Complex Systems. 2 ed. New York, US. Springer. 497 p.
4. Gillma, Michael. 2009. An Introduction to Mathematical Models in Ecology and Evolution Time and Space.2 ed. Oxford, UK.167 p.
5.Lopez, José; Blé, Gamaliel. Modelo Depredador-Presa. Revista de Ciencias Básicas. UJAT (7), 25-35 (2008).
6. Murray, J.D. 2002. Mathematical Biology: An Introduction. 3 ed. New York, US. Springer. 576 p.
7. Pastor, Hohn. 2008. Mathematical Ecology of Populations and Ecosystems. Oxford, UK. Blackwell. 344 p.
8. Ranta, Esa; Lundberg, Per; kaitala, Veijo. 2006. Ecology of Populations. New York, US. Cambridge University Press. 389 p.
9. Universidad de Jaén. 2009. Modelos Matemáticos en Biología. Andalucia, ES. 360 p.
Video de Aplicación MATLAB:
No hay comentarios:
Publicar un comentario